第五期　2003年6月
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教育研究

　　為甚麼教師需要備課，在上課前完成教學設計呢？道理很明顯，教師需要清楚這節課的教學目標，並有效地組織教學內容和教學活動以達成這些教學目標。但是我們常常發現......

>> 課已停，意尤存
　　—突出過程性目標的數學課堂教學設計新理		 文•張春莉

　　......許多教師在確定一節課的教學目標時，考慮的幾乎只有這節課中的知識和技能目標，即使在教案上也寫上了知、情、技三方面的目標，但在實際的教學中教師的關注點仍是在知識和技能方面。其實，情感和能力方面的目標同樣是非常重要的，我們稱之為過程性目標。如何才能在數學課堂教學設計中突出這些過程性的目標呢？我認為主要體現和落實在如下三個方面：

一、注重學生對知識的體驗和探索的過程

　　關於數學教育的目的，當前一個普遍被接受的觀念是讓學生理解性地學習數學。建構主義為我們提供了關於兒童如何學習數學的理論基礎。從建構主義的觀點來看，兒童是知識的創造者而不是被動接受者，他們主動地建構屬於他們自己的知識和對事物的理解。

　　那麼，什麼叫做理解？如果說知識可以說成是要麼有，要麼沒有的話，理解卻從來不能說成是要麼就有，要麼沒有的東西，即它不是一個全或無的概念。比如，對於一個數學概念：“正方體”，如果一個小孩不能夠說出這個名稱，我們可以說他不知道這個知識，但不能因此說他不理解這一概念。當你給他一大堆立體圖形（有正方形、長方形、圓柱體和球），他能夠按照形狀把他們進行分類，說明他借助於他已有的經驗已開始理解到“正方體”這類立體圖形與其他類型的立體圖形是有區別的，只是他不知道這類立體圖形叫什麼名字而已。隨著今後學習活動的進一步深入，他還將這個概念發展更深的理解，理解正方體具有什麼性質，理解正方體的平面開展圖、立體透視圖，理解正方體的表面積、體積的計算公式等等。因此，理解可以被定義成新舊知識聯繫的質與量的函數。如圖1所示，當一個人在學習一種新的知識（概念、規則、原理等）時，他/她對於知識的理解程度可以說是處在一個理解的連續體上。在連續體的一端新舊知識處於一種非常豐富的聯繫狀態，我們把處於這種狀態的理解稱之為有意義的理解（relational understanding，Skemp，1978）。而在連續體的另一端，觀念之間完全或幾乎是孤立的，我們把處於這種狀態的理解稱之為機械理解（instrumentall understanding，Skemp，1978）。顯然，與某個概念聯繫的知識越多，人們對它的理解就越好。

　　基於這些對學生數學理解的認識，我們在進行課堂教學設計時，在發展有效的課堂教學策略時，第一點就應當從學生的角度出發而不是從教師自身的角度出發來考慮教學內容的選擇和教學活動的安排。我們來分析一節課——《有餘數的除法》，看看教師應該如何引導學生理解性地學習。過去傳統上我們是怎樣上這節課的呢？我們是直接拿出一些數學除法算式，讓學生算一算，分一分，讓學生在算的過程中發現除法可以分為兩類：一類是除得盡的，一類是除不盡的。這時教師便可以出示課題，告訴學生這個除不盡餘下來的數在數學上有一個名字，叫餘數，今天我們就來學習《有餘數的除法》。然後老師很自然地告訴學生帶餘數的除法的寫法，接著是安排學生一定數量的練習，最後是訂正和反饋。這樣的課在知識點上沒有什麼問題，教學環節上也很清楚，但是學生不感興趣，是我們教師在要他學，而不是他要學。這裏我想介紹我有幸聽到的北京孫京紅老師做的這節課。孫老師在課堂教學設計中創設了這樣一個學習活動：派送給學生每組一些小棒，請他們搭建自己喜歡的圖案，並且要求他們重複搭建這個圖案，直到小棒不夠搭建一個完整的圖案為止。這個活動設計得好在哪裡呢？這個活動本身給孩子們很多的自由度和創造空間，孩子們會很樂意去做，這樣一開始就從學生的角度出發，充分地調動起學生的學習動機和學習興趣，這對隨後的學習活動是很有幫助的。它起到的是一個類似滾雪球的作用，良好的學習動機促進新知識的學習，新知識的學習反過來又促進學生新的學習動機。事實上，我們看到一旦給孩子們提供了創造的空間，孩子們的想像力是很豐富的。有的小孩子是這樣擺的，∟代表字母L或者數位元7（轉過來看），有的這樣擺， 孩子們有的說像酒杯，有的說像掃帚。但是光有這樣的活動是不夠的，孩子們並不能從中自發地認識到其中蘊涵的數學觀念——即根據小棒的總數和每個圖案所需的小棒數，利用除法就應該可以求出可以擺多少個相同的完整的圖案，以及還剩多少根小棒。

　　因此，這時教師的引導就非常重要。我們可以看到這時教師提了一個很好的問題“你能把你們小組擺小棒的這個活動用數學語言表示出來嗎？”為什麼說它是一個好問題，因為它又是從學生的角度出發，引導學生去發現模型與數學觀念之間的聯繫，從而理解性地學習。我們看到有個學生把他們小組的活動用這樣的方法表示：“13÷3=4......1”，理由是“他們組共有13根小棒，每個圖案需要3根小棒，可以擺4個圖案，還剩下1根不夠擺一個圖案了。”而另一組學生則是這樣表示的：“13÷5=2......3”理由是“他們組共有13根小棒，每個圖案需要5根小棒，可以擺2個這樣的圖案，還剩下3根不夠擺了。”教師立刻就問了：“你們為什麼要這樣寫呀。最後面的這個數叫什麼數啊？”，孩子們說：“叫餘數”。教師請知道餘數的同學舉手，結果發現全班同學都舉手了，於是教師表揚了他們：“你們知道得真多。”同時很自然地在黑板上寫出了“餘數”這兩個字，並統一了帶餘數除法的寫法。事實上，很多時候實際的課堂教學的情形就是這樣：很多城市裏的孩子，在入學之前就學會了不少學校裏的、課本裏的知識，如果教師忽視這一點，不考慮學生已有的知識起點，不是把自己的教學設計建立在學生已有的生活和知識經驗的基礎上，而是把學生想像成一張白紙，在教學設計時，只考慮自己怎麼去向一群，一點也不懂的孩子把這個問題講清楚，就會重複一些勞動，也會使整堂課變得索然無味。這樣一比較，我們可以看到兩種設計中體現出的不同的教學理念，後者更加注重的是學生對知識體驗和探索的過程。而當孩子們在經歷數學，體驗數學時，這樣的課堂才是充滿活力的。

二、加強對學生數學思維和方法的指導

　　創設一個好的數學問題情景，提供孩子們理解數學的模型和材料是教學設計活動中的第一步，但是要讓學生“看到”其中所蘊涵的數學觀念，作為教師不能讓這些數學活動只停留在表面。當教師只是告訴學生“像我這樣做”時，對操作材料一個最普遍的誤用就會出現。在這種教學下，學生只是盲目地跟著教師指出的方向操作，但是在這種看似每一步的操作都很正確的假像掩飾下，甚至會讓學習者自身和旁觀者都誤以為他們似乎已經理解了。譬如，我們讓學生們通過擺小棒理解為甚麼13-7=6，卻不告訴學生為甚麼不夠減時要向十位借1，那麼學生在離開這些小棒時可能就不知道如何解決這類問題。換句話說，這樣做的一個自然結果是讓學生把教師所提供的模型當成了獲得答案的裝置，而不是數學思維的載體。

　　如何加強對學生數學思維和方法的指導呢？研究發現，兒童是很少給出任意的反應的，他們傾向於根據從他們所持有的個人觀點或者基於他們能對環境賦予意義的理解水平，盡量使其回答具有意義。但由於他們具有不同的生活背景、知識經驗、思維特點，使得他們對於同一個概念的理解常常存在著很大的差異，甚至出現錯誤的觀點，這就是為甚麼兒童們在理解上常常存在著質與量的差別。因此鼓勵兒童進行積極的反思性的學習將是教學設計中非常重要的一個教學策略。在教室裏，兒童必須被提供機會，去斟酌他們關於某個新概念的理解，與頭腦中原有的認知結構或者說命題網路相互作用，向自己和他人的觀點提出挑戰和質疑，通過交流、反思最後完善自己的認識，並把正確的、新舊知識間有著豐富聯繫的理解貯存在頭腦中，形成一個更大的命題網路。我們在課堂上應該經常問這樣的問題“說說你是怎樣想的呢？”或者“你是根據甚麼得出這個結論（猜想）的呢？”，讓學生充分地把他們的思維過程展示出來，而不是問“你知道??（某個關係）是這樣，還是那樣？”或者“......（某個命題）對不對？”，因何這樣的問題只需要學生回答“是”或“否”，對他們思維的要求是很低的。

　　我們繼續反思《帶餘數的除法》這節課，過去我們傳統的教法是在練習的修正和反饋環節中直接告訴學生“餘數是不能比除數大”這一數學事實，或者向學生提問“餘數能不能比除數大呢？”。而對於其中的道理，不是從數學模型中得出來，而是通過舉一個例子，從計算本身抽象地加以探討，即38÷5=6......8之所以不對是因為商7的時候，38÷5=7......3，餘數更小，同時又不能商得更大，即38÷5商8的話呢，“五八四十”，這樣38-40就不夠減了。實際上這時學生理解的是，“如果餘數比除數大，這時你試商中的哪個商還可以再加1”，而不是“為甚麼還可以把商再加1”。我們來看看孫老師在面對這個重要的數學觀念時是怎樣處理的。這裏她採用的不是靠老師直接告訴，而是由學生自己去發現的教學策略。教師再次創設了一個找規律的活動，讓學生們猜一猜一個數除以3可能會餘幾？孩子們在剛才擺小棒的活動的基礎上很快發現，可能會餘1、2和0。老師問，“為甚麼不可能餘其他的數呢？”孩子們借助擺小棒的模型，理解性地解釋了這個問題：“如果餘4的話，那麼其中的三根小棒又可以擺一個圖案，這樣商應該再加1，而餘數應該是1。”在學生進一步通過自己設想各種除數更深入地探索了這一問題以後，教師接著又問了一個問題：“你們是根據甚麼猜（有多少個餘數）的呀？”孩子說，“看除數就知道了，最大的那個餘數就是用除數減1。”教師說，“原來你們發現餘數和除數有關，那麼餘數和除數有什麼關係呢？”最後，孩子們自己總結出來這一重要的數學事實，“餘數一定比除數小”。我們可以發現這些問題所要求的學生思維層次是很高的。通過這一節課，學生今後再做除法問題時就能夠很好地解決試商的問題，學生真正明白了為甚麼試商過程中通過乘法口訣找到的應是一個與被除數最接近的哪個數，除法計算的難點和重點一下子就給突破了。

　　無獨有偶，北京鮑海影老師執教的一節課《克、千克的認識》，在加強學生思維和方法的指導方面也有許多可圈可點的地方。鮑老師在這節課中共設計了三個學習活動：（1）看一看：在這個活動中，教師為每個小組提供了各種來自生活的食品或藥品的包裝，比如一袋白糖、一袋鹽、一包感冒沖劑等等，讓孩子們仔細觀察包裝上關於物品重量的標誌。孩子們通過觀察，認識到表示物體重量的單位可以有克和千克，同時也發現了克和千克的英文記法g和kg（國際通用的記法）。（2）掂一掂：在這個活動中，教師讓孩子們用手去掂量1000克的物品和1克的物體大約有多重，對比著感受這兩種重量的不同，同時也發現1千克=1000克，即1000個1克。（3）稱一稱：在這個活動中教師讓孩子們先估計1克或1千克的物品大約有多少，再實際地稱出重量是1克或1千克的物品驗證自己的估計。為甚麼我們欣賞這樣的教學設計，首先第一個特點就在於這節課教師是以活動來組織教學，為孩子們提供了豐富的生活模型和材料，使得孩子們能更好地去理解這些數學知識。第二個特點是在三個活動的每一個活動之後，教師都安排了學生向大家說一說自己的發現或感受，充分地鼓勵孩子們進行一種反思性地學習。事實上，孩子們之間的交流是非常重要的，譬如，在第二個活動後，讓學生們相互說一說自己掂1克物品和掂1000克物品有甚麼不同的感受，而這個感受的過程教師是不可能包辦代替的，也不能靠言語直接傳遞。我們看到孩子們說得多好啊，有一個孩子說，“1克重的物品很輕，我可以毫不費力地把它從手中拋起來，而1千克的物品很重，我想把它拋起來時感到很吃力”。這個感受只有孩子們自己才能說出來，試想如果讓一個成人來掂的話，他的感受與孩子的感受絕對是不一樣的。第三個特點則是該課的第三個活動，先猜後稱，讓孩子們經歷猜想——實驗——修正這樣一個科學的求真過程，同時對於培養學生的量感也是非常重要的。在這一點上應該說我們澳門的許多教師也是做得很好的，常常是要求孩子們先估計，再實際量度，最後驗證自己的估計。但是我認為光做到這一點還不夠，我們不僅要提供孩子們先有估計的意識，實際度量物體的某個屬性的實踐機會，同時還需要教給孩子們如何估測得更準的方法，我們需要多問一句的是“你是根據甚麼來估計或猜測出這個數值的呢？”或者問一問“你這次估計得不是很準，你發現是甚麼原因了嗎？”。在鮑老師上的這堂課中，我們看到由於有前面“掂一掂”的活動做鋪墊，孩子們在第三個活動中的估計就有基準可以參照，從而不會盲目地、無根據地去估計。譬如在估計1千克的蘋果大約有幾個時，由於已經親身地掂量過1千克重的物品，在估計1千克的蘋果大約有多少個時孩子們的估計就不會太離譜，大多數小組都較為準確地估計出大約有5個蘋果。同時我們也看到有一組孩子還能站起來指出，他們小組的蘋果需要7、8個才有1千克，因為他們小組的蘋果比較小一點、輕一點，一個蘋果大約才130克。通過這樣的活動和交流，孩子們今後去估計一個物品的重量時，經驗會更豐富，考慮問題時也會更全面。

三、滲透對學生的情感、態度和價值觀的培養

　　我們說數學學習不只是在學習知識，在這個過程中還有些目標也是我們所追求的，譬如，學生解決問題的自信心，小組團結合作的精神，對數學學習的積極情感和態度等等。而這些目標的培養不可能靠教師的說教，也不可能靠一節課或幾節課就可以完成，它有一個日積月累的過程，是一個一點點滲透、逐漸內化的過程。如何在教學設計中滲透對學生的自信心、合作精神、積極的情感和態度等的培養，對我們教師的要求很高，我認為關鍵是教師要有這方面的意識，不放過每一個時機隨時關注對學生在這些目標上的發展，點點滴滴地將這些個性品質滲透到每個孩子的心中。

　　譬如說，小組合作學習是一種很好的教學組織形式，但是目前卻存在一個問題，那就是實效性的東西少，而形式的東西多。小組合作學習是需要有前提的，一是學生感受到小組合作學習的必要和目的，二是在合作之前每個同學是有獨立思考的時間並做好角色的分工。有一個老師創設過這樣一個情境：播放一段錄像，真實記錄了北京一個十字路口五分鐘通過的各種車輛。學生們很自然地產生了一個問題，在這五分鐘內有多少輛小車，多少輛卡車，多少輛公共汽車。他們請老師再播放一次。老師說，“好啊”，又播放了一遍，可是車輛那麼多，開的又那麼快，統計不下來，同學們請老師把錄像放慢一點，老師告訴孩子們，不能放慢，因為現實生活中車輛的行駛速度就是這樣的，現在請你們小組內開動腦筋討論一下，有沒有甚麼辦法可以幫助我們解決這個問題呢？通過小組討論，孩子們決定每個人負責一種車輛，從而成功地解決了這個問題。我們看到，通過這個活動，教師不僅是在教學生學習有關統計的知識，同時還培養了孩子們團結合作的精神，讓他們看到團結合作的必要和力量。

　　北京的一位特級老師吳正憲老師曾介紹過她做的一節課——《分數的初步認識》。考慮到教學的重點是最初的1/2的認識，吳老師讓孩子們結合自己的生活經驗，表示出自己所發現的生活中的一半。有的學生用畫圖的方法，一圓分成兩半。有個孩子在黑板上寫了三點水，老師問，“這是甚麼意思？”孩子說，“我叫江勇，三點水表示江的一半”。有個孩子寫到“一半就是半拿”。還有個孩子畫了一個桃子，一把刀把它切開，旁邊還有兩片桃葉。這時吳老師就出示了“1/2”這個分數，告訴孩子們所有這些都可以用1/2來表示，這就是你們生活中的一半，你們心中的一半，隨手就把黑板上的這些圖都擦掉了。因為按照吳老師的設計，她要利用這塊黑板展示1/3，1/4。可是這時她卻發現剛才畫桃子的那個男孩子很生氣，他用力地把文具盒一扣，當時老師以為是同學之間鬧小摩擦，還特意走過去輕輕地摸了一下小孩子的頭。下課後吳老師問他，“剛開始上課時你那麼積極，可後來為甚麼再也不舉手回答老師的問題了呢？”沒想到孩子問了這麼一句話：“你為甚麼要我們畫，又把它擦掉。”這件事情看似很小的一件事情，可是吳老師卻善於抓住這個看似小的問題進行反思。她認識到這個問題很值得關注，因為像這樣的問題她會遇到，其他老師也可能會遇到。作為教師，目光不能只盯在傳授知識上，還要學會欣賞孩子們，鼓勵他們的發現，分享他們的成果。孩子們積極的思維和情感可能會把教師設計得既美觀又整潔的黑板衝擊得亂七八糟，對教師井然有序的教案發出挑戰。但是所有這一切在孩子的需要面前都可以犧牲，因為教師的教最終是為學生的學服務的。後來吳老師改變了她的教學設計，當同學們在黑板上展示了他們眼中的一半之後，吳老師說你們願意擦的可以擦，願意保留的也可以保留，結果只有兩個同學願意擦，那麼本來就緊張的板書，被孩子們佔了，怎麼辦。為了不影響學生的注意力，吳老師用紅筆把它們圈在一起，在這個過程中吳老師傳遞給學生的不僅是分數這個知識，而且還用自己的實際行動告訴他們我們要學會尊重別人。如果一個孩子從小就受到尊重，感受到被人尊重的快樂和幸福，那麼他們也會學著去尊重他人的。隨著教學的進一步深入，孩子們已理解了甚麼是1/3，1/4，......但在表示上吳老師並沒有強求學生一定用分數來表示，有的學生還在用畫圖的方法來表示。這時吳老師出示了1/100，讓孩子們來表示。結果大多數的孩子都採用了分數來表示，但仍有幾個同學堅持用他們喜歡的圖形來表示。吳老師沒有阻止他們，耐心地等待他們自己的發現。果然，過了一會兒，一個孩子忍不住了，他告訴吳老師，“我不畫了。”吳老師問他，“為甚麼不畫了？”孩子說，“畫圖實在是太麻煩。”這時，吳老師握著他的手說，“感謝你，終於接受了分數”。我們看到這個時候，孩子完成對分數的認識是真實的，是自然的，他們是從內心深處接受了這一看似抽象卻簡潔明瞭的數學語言，感受到了數學的美和力量。

　　我想，寫到這裏我們都會發現這些突出過程性目標的課堂教學設計新理念下的課結束了，留給我們卻是非常深刻的感受。事實上，無論在聽課老師的心裏，還是在學生的心裏都覺得在課中滲透的東西很多，挖掘的東西很深，十分耐人尋味。學生在這個過程中是在理解性地學習，富有想像和創造性地學習。他們在課堂裏不僅增長著自己的知識，而且從中也發展著解決問題、數學思考、合作交流等各種能力，發展著對待周圍的人和物的情感、態度、價值觀。周玉仁教授曾用一句話高度地概括了這類課所帶給我們的一個新意境——課已停，意尤存。是啊，課已經上完了，但是卻留給學生深深的思考，激發著學生對知識無盡的探索。當前澳門正進行著數學課程改革的試驗，這是一個很有意義、充滿希望的工程。教育事業不能沒有理想。我以為對於每一個有責任心的教育工作者來說，我們要有信心，要盡到我們最大的努力去實現我們的理想。因為對每個孩子來說，他/她只有一個六歲，只有一次一年級，只有一個童年。我們要對他們今後的發展負責，而要做到這一點，我認為最重要的是我們教師要建立起教學設計的新理念，在教學設計中不僅關注知識技能目標，還要關注過程性目標，抓住了這一點，就抓住了課堂教學的魂，抓住了促進學生全面、健康、活潑發展的基石。

(作者為澳門大學教育學院客座助理教授)

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