去年暑假，跟隨學校旅行團參加歐洲遊，沿途玩中偷閒拜讀了孫維剛老師著《全班55%怎樣考上北大、清華》，獲益良多，發人深思，催人奮進！

　　孫老師是北京22中特級數學教師，對數學教學有獨特的見解，有自己一套的教學思想和方法。

　　我體會最深的是：教學要以人為本，要通過知識的教與學，不斷發展孩子的智力素質，造就一個強大的頭腦。要做到這一點，我認為：數學教學要重視“知識的發生過程”，要讓學生參與整個探究過程──要體會失敗的痛苦、成功的喜悅；問題的提出、簡化、數學建模、試驗、猜想、證明；分類討論，解題後的反思，寫論文等，都是在老師的引導下學生自己動手去完成。舉一個例子（孫老師訓練學生的一道題）：

　　有12個小球外形相同，其中11個的重量相同，另外一個異重（較重或較輕），請用一架天平稱3次，把那個異重的小球找出來。孫老師說：這是一道很有難度的智力遊戲題目，很難但不繁瑣，不見庸，於培養思考的合理性，韌性，甚有益處。如果能在2小時內想出來，則思維水平達到了相當高的層次。

　　這道題怎樣教學？對於一個問題，如果有解，求出它的“解”；如果無解，要給出證明。把“原題”交給學生，讓學生去探究，去嘗試，去經歷失敗，去提出問題，去作出猜想，去修正解答。
這正如陳碩同學（孫老師的學生）說：這道題著實難壞了我們，“要是知道異球是較重還是較輕就好了”， “是呀，就差一點了。”，大家紛紛議論。只差這最後一步，可就是不能成功，絞盡了腦汁......。這情景就是我所強調的“發生過程”！

　　正值“山窮水盡”之際，老師出來了（出得合時），同學們，在思考過程中我們發現── 若知異球“較重或較輕”稱一次可以從3個球中找出異球；關鍵問題是當異球在天平上（四個球之中，且不知在哪一邊）怎麼辦？，是否可以將天平上的球作“分化”處理？如何分化？── 同學們又陷入了沉思（這又是一次重要的經歷）。......

　　“我想到了！”這一喊聲多麼振奮人心：“把12個小球均分為三堆”，每堆4個，將其中兩堆放到天平上稱1次，若平衡則知異球在第三堆中，此時用3個“好球”對稱第三堆中任意3個小球，若平衡則知第三堆餘下的小球是異球；若不平衡則既知異球在哪三個小球之中，又知異球是“較重”或“較輕”，這樣只須再把含異球的哪三個小球中任意兩球對稱一次即可找出異球。

　　若第一次不平衡，則異球在4個球之中，怎麼辦？── 要轉化為異球在3個（或小於3個）球之中，且知異球較重或較輕（只能稱一次）！

　　分化如下：天平左盤上保留一球設為L1，取出三球設為L2 ，L3 ，L4；右盤上保留一球設為R1，其餘三球移到左盤上設為R2 ，R3 ，R4，另外取三個“好球”放到右盤上稱一次。

　1. 若平衡，則知異球在L2 ，L3 ，L4中（且知異球較重或較輕）；
　2. 若保持原來的不平衡狀態，則知異球為L1或 R1（只須用一個“好球”對稱L1或 R1即可找出異球）；
　3. 若得到新的不平衡狀態，則知異球在R2 ，R3 ，R4中（且知異球較重或較輕）。
綜上所述，命題得解。教師小結：本題關鍵之處是把異球“限制”在3球之中，且知異球較重或較輕；其精妙之處是“分化”的處理：取出3球{ L2 ，L3 ，L4}，轉移3球{ R2 ，R3 ，R4}，保留2球{ L1 ，R1}！

　　問題得到了解決，但學習、思考並未到此結束。繼續提出問題（學生繼續“經歷”）：那麼最多有多少個小球（其中僅有一個異球）可以最多稱3次把異球找出來？

　　設有n個小球，第一次天平左右盤上各放置x個小球（1≦x≦【n/2】），這會發生兩種情形，其一是平衡（即異球在其餘的n-2x個球之中），其二是不平衡（即異球在天平上）。

　　對於第一種情形要求n-2x≦5 （若不超過5個小球中僅有一個異球，可以稱2次把異球找出來：例如用3個“好球”對稱這5個小球中的3個，若平衡則再用1個“好球”對稱餘下2個小球中任意一個即可找出異球；若第一步不平衡則既知異球在哪3個球之中，又可知異球較重或較輕，這樣只須從含有異球的3個球中任取兩球稱一次即可找出異球）；對於第二種情形要求x≦4（具體如上）。

綜上所述，知：

{	n-2x≦5； x≦4
{	x≧(n-5)/2； x≦4

　　於是要求(n-5)/2≦4，所以n≦13。由此可見，當小球數不超過13時此問題有解。當n＝13時，把小球分為4，4，5把 “4，4”放到天平上，若平衡，則用3個"好球"對稱5個球中任意3個，若平衡，再用1個“好球”對稱餘下的2個球中的任意一個即可找出異球；否則......。

　　到這裡，問題並未完結，教師繼續問：推而廣之，如果最多稱4次要把僅有的一個異球找出來，n的最大值是多少呢？......；一般地，如果最多稱k次要把僅有的一個異球找出來，n的最大值是多少？能否導出公式n＝f (k)── 餘味無窮，波瀾壯闊！這就是孫老師所講：總是站在系統的高度教學知識，漸漸使學生的思維養成時時處處在浮想聯翩、思潮如湧的狀態。

　　“一般地，有不多於n個球（其中僅有一個異球，不知較重或較輕），最多稱數次把異球找出來（n≧3, k≧2）”，設n＝f (k)，注意到若稱第一次不平衡，則需對天平上的小球作“分化”處理：取出（或轉移）最多3^k-2 個，這樣再稱一次若知道異球在取出（或轉移）的3^k-2 個小球之中（此時亦知異球較重或較輕），則只需再稱k-2次便可找出異球；若知道異球在兩邊保留的小球之中，則又從保留的小球之中取出（或轉移）3^k-3 個，......綜上所述，知第一次放到天平上的小球最多為2（3^k-2 + 3^k-3 +...+3¹ +1）；若第一次平衡，則知異球在餘下的小球中，用"好球"對稱餘下小球中的3^k-2 個，若不平衡則既知異球在這3^k-2 個小球之中，又知異球較重或較輕，於是再稱k-2次便可找出異球；若第二次平衡，再用"好球"對稱餘下的3^k-3 個小球，...，由此可知第一次餘下的小球最多為

3^k-2 + 3^k-3 +...+ 3⁰ + 1；所以n＝?（k）
=2（3^k-2 + 3^k-3 +...+ 3¹ + 1）+（3^k-2 + 3^k-3 +... + 3⁰ + 1）
=3（3^k-2 + 3^k-3 +...+ 3¹ +1）+1
=3^k-1+ 3^k-2 +...+ 3² +3+1
=（3^k -1）/ 2（k≧2）

　　（例如f (2)＝4；f (3)＝13；f (4)＝40── 40個球最多稱4次可以找出僅有的一個異球；...）至此問題完滿解決。

　　各位，此題精妙之處是激發思維，引致討論，培養探究精神──此乃學習數學的真諦！

　　數學教學提倡不搞題海戰術，要“少而精”，怎麼才算能“精”。通過這道題的教學或許有點啟示吧！

　　總之，數學教學要以人為本，要通過知識的教與學，不斷發展學生的智力素質，造就一個強大的頭腦。最根本的一點就是在教學過程中要重視“知識的發生過程”。

(作者為濠江中學教師)